前言

我最近购买了某公司新出的一款零食，在收到货之后该公司的客服联系我让我对该零食的接受程度做一个评价，可是评价的指标有那么多，该从何入手呢，况且我对不同指标的接受程度也不一样呀，受价格、味道、包装、营养、性价比等多方面因素影响，这么多指标你们公司该怎么去衡量消费者对这款零食总体的一个接受程度呢?

突然，我灵光一闪，恰好最近在学习数学模型，我立马就想到了模糊综合评价这个方法.......

模糊数学绪论

用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为:

确定性现象：如水加温到100C就沸腾，这种现象的规律性靠经典数学去刻画;

随机现象：如掷筛子，投硬币，观察哪一面朝上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画;

模糊现象：“年轻”与“年老”、“高”与“矮”、“欢迎”与“不欢迎”

1、模糊综合评价法原理

模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评价方法。该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。它具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。

1.1 什么是隶属度？

隶属度是【0,1】之间的数，其值越大，就代表越属于这个集合。比如小明的帅的隶属度为0.8，那小明就比较帅，隶属度越高越说明他越帅。

1.2 常用隶属函数的确定方法：

1.21 模糊统计实验法

通俗理解就是从概率的角度出发，实际生活中隶属度的确定，也往往是通过调查来实现。例如问100个人对于某项商品的满意程度，如果有40个人回答满意，其隶属度就可以确定为40/100=0.4，当调查的总数越大，这一值就越趋近于真正的隶属度。

1.22 借用已有的客观尺度

此方法在于采用现有的规定，如下图所示

1.23 指派法(根据问题的性质直接套用某些分布，作为隶属函数，主观性较强)

偏小、偏大和中间型是最为常用的隶属度函数的分类，最为简单常用的即是梯形函数：

依次对应下列图形：

对于偏小型模糊集合，隶属函数总体上递减，也就是元素的某个特征越大，隶属度越小；对于偏大型集合，隶属函数总体上递增，也就是元素的某个特征越大，隶属度越大；对于中间型集合，隶属函数总体上先递增后递减，中间一部分或是某个点取到最大值。

2.模糊综合评价法步骤（结合了解消费者对零食的接受程度实例）

案例背景介绍 某饮食行业品牌发布一款新零食，欲了解消费者对该种零食的接受程度。一共有五个评价指标（价格、味道、包装、营养、价比），以及评语共有四项（很满意，满意，一般，不满意）。

2.1 确定因素集

因素集是以影响评价对象的各种因素为元素所组成的一个普通集合。对零食的接受程度，需要从多个方面进行综合评判，如员工的价格、味道、包装、营养、性价比等。所有这些因素构成了评价指标体系集合，即因素集

注意：一级模糊评价中，m 往往较小（一般 ≤ 5）且 指标间相关性不强。

取因素集：U = {价格u1，味道u1，包装u3，营养u4，性价比u5}

2.2 确定评语集

评语集是评价者对评价对象可能做出的各种结果所组成的集合。由于每个指标的评价值的不同，往往会形成不同的等级。对零食的评价有很满意、满意、一般、不满意等。由各种不同决断构成的集合称为评语集

注意：这里评语集中有 n 个元素， n 与 m 无关。

取评语集：V={很满意v1，满意v2，一般v3，不满意v4}

2.3 确定模糊综合评判矩阵，对每个元素 ui 做出评价

得到单因素评判矩阵R:

2.4 确定各因素的权重

确定权重的方法有很多，如：Delphi法（专家调查法）、加权平均法、众人评估法。但是建议：当没有数据的时候可采取层次分析法，有数据的时候可采取熵权法。

在本案例中，我们使用熵权法来确定权重，各因素的权重为

2.5 模糊综合评判

进行矩阵合成运算：

常用的模糊合成算子有以下四种：

∧表示取小，∨表示取大，*表示相乘，+表示求和。

1.主因素决定型：M(∧,∨)

(更多考虑指标权重，输入数据在一定程度上都不会有明显的影响，适用于模糊矩阵中数据相差很悬殊的情形)

先看等号左边，左边的第一个数字0.149和右边第一列的第一个数字0.2进行比较，取小者为结果，就是0.149；然后左边的第二个数字0.313和右边第一列的第二个数字0.1进行比较，取小者，为0.1；以此类推。取小过程结束，然后再取大，就是这三个结果进行比较，取大者为最终结果：因为上边算出的五个结果分别是0.149，0.1，0，0，0.149，取大者即为0.149。这便是等号右边第一个数字0.149的由来。

同样的，左边矩阵与右边矩阵的第二列依次比较取小后再取大，便得出了等号右边第二个数字0.3.以此类推。

2.主因素突出型：M(*,∨)

(在主因素决定型的基础上修正了输入数据的上界程度)

先相乘再取大。

3.取小与有界型：M(∧,+)

(更多使用输入数据信息)

先取小再求和

4.加权平均型：M(,+)

(综合利用指标权重和输入数据信息，适用于因子很多的情形，可以避免信息丢失)

先相乘再求和。这也是本案例中以及最常使用的方法

最后得到的模糊向量为图片

由计算结果可见，消费者对该种零食的接受程度为一般。

3、案例工具实现

3.1使用工具

3.11 SPSSPRO—>【综合评价—>模糊综合评价】

3.12案例操作

Step1：新建分析；

Step2：上传数据；

Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【模糊综合评价】；

step5：查看对应的数据数据格式，【模糊综合评价】求输入数据为放入 [定量] 自变量 X（变量数 ≥2）。

step6：设置变量权重（熵权法、不设置权重、自定义权重）、模糊算子（主因素决定型、主因素突出型、取小与有界型、加权平均型）。

step7：点击【开始分析】，完成全部操作。

3.13 分析结果解读

以下生成的结果来源于SPSSPRO软件的分析结果导出，SPSSPRO输出的结果中会给出智能解读结果，直接查看智能分析：

输出结果1：指标权重计算

熵权法的权重计算结果显示，价格u1的权重为14.899%、味道u2的权重为31.279%、包装u3的权重为20.412%、营养u4的权重为18.511%、性价比u5的权重为14.899%，其中指标权重最大值为味道u2（31.279%），最小值为价格u1（14.899%）。

输出结果2：隶属度矩阵计算结果

由上表可知，针对 5 个指标（价格、味道、包装、营养、性价比）与 4 个评语（很满意、满意、一般、不满意）进行模糊综合评价，在使用加权平均型 M(*,+)算子进行研究；首先由评价指标权重向量 A（由熵权法可以得到），通过构建出 5X4 的权重判断矩阵 R，最终进行分析得到 4 个评语集隶属度，分别为 0.136、0.307、0.446、0.111,因此可以得到，4 个评语集中一般的权重最高，集合最大隶属度法则可以得到，最终综合评价的结果为“一般”。

输出结果3：综合得分

上表展示了模糊综合评价的综合得分，可用于对总体评价情况进行评估，针对四个评语分别赋分为4，3，2和1分；通过 0.136×4+0.307×3+0.446×2+0.111×1=2.468，计算得出综合得分值是2.468分，说明综合得分介于“满意”和“一般”之间。

4.结论

模糊综合评价法通过精确的数字手段处理模糊的评价对象，数学模型简单，容易掌握；可以将不完全信息、不确定信息转化为模糊概念，使定性问题定量化，提高评估的准确性；但是对指标权重矢量的确定主观性较强。尤其当指标集U较大，即指标集个数较大时，在权矢量和为1的条件约束下，相对隶属度权系数往往偏小，权矢量与模糊矩阵R不匹配，结果会出现超模糊现象，分辨率很差，无法区分谁的隶属度更高，甚至造成评判失败，此时可用分层模糊评估法加以改进。

5.参考文献

[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from spsspro.com.

[2] 董春燕,周运涛,李君轶,等. 基于模糊综合评价的长江中游水质分析[J]. 淡水渔业,2021,51(2):55-62.