1 基本概念

1.1 定义

数据包络分析是运筹学中用于测量决策部门生产效率的一种方法，它是评价多输入指标和多输出指标的较为有效的方法，将多投入与多产出进行比较，得到效率分析，可广泛使用于业绩评价。

详细来说，通过使用数学规划模型，计算决策单元相对效率，从而评价各个决策单元。每个决策单元（DMU）都可以看作为相同的实体，各 DMU 有相同的输入、输出。综合分析输入、输出数据，DEA 可得出各个 DMU 的综合效率，据此定级排队 DMU，确定有效（即相对效率最高）DMU，挖掘其他 DMU非有效的程度和缘由。

1.2 特点

• 适合用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理所输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势
• 应用DEA方法建立模型前无需对数据进行量纲化处理
• 无需任何权重假设

1.3 名词解释

1、技术效率：指在保持决策单元投入不变的情况下，实际产出同理想产出的比值。

2、规模报酬：规模报酬是要说明，当生产要素同时增加了一倍，如果产量的增加正好是一倍，称之为规模报酬不变（-），如果产量增加多于一倍，则称之为规模报酬递增（irs），进而，如果产量增加少于一倍，就称为规模报酬递减（drs）。

3、决策单元（DMU）就是效率评价的对象，可以理解为一个将一定“投入”转化为一定“产出”的实体。此文中，DMU就是每个楼盘。

4、DEA强有效：任何一项投入的数量都无法减少，除非减少产出的数量或者增加其他至少一种投入的数量；任何一项产出的数量都无法增加，除非增加投入的数量或减少其他至少一种产出的数量。

5、DEA弱有效：无法等比例减少各项投入的数量，除非减少产出的数量；无法等比例增加各项产出的数量，除非增加投入的数量。这种情况下，虽然不能等比例减少投入或增加产出，但某一项或几项（但不是全部）投入可能减少，所以称为弱有效。

6、生产前沿面：（自己通俗的理解）对于给定的生产要素和产出价格，选择要素投入的最优组合和产出的最优组合，即投入成本最小、产出收益最大的组合。它所对应的生产函数所描述的生产可能性边界就是生产前沿面。

1.4 类型介绍

DEA 模型具体又可细分为三种类型：

CCR 模型：该模型假定规模报酬不变，主要用来测量技术效率;

指对DMU通过“投入一定数量的生产要素，并产出一定数量的产品”的经济系统来判断各个单元的相对合理性和有效性。从投入资源的角度来看，在当前产出的水准下，比较投入资源的使用情况，以此作为效益评价的依据，这种模式称为“投入导向模式”。

BCC 模型：该模型假定规模报酬可变，主要测算纯技术效率，即技术效率与规模效率的比值;

从产出的角度探讨效率，即在相同的投入水准下，比较产出资源的达成情况，这种模式称为“投入导向模式”。所得到的是“技术效益”，DEA=1称为“技术有效”，最优解是决策单元j的“技术效益”。

DEA-Malmquist 指数模型：该模型可以测算出决策单元 (DMUs) 的生产效率在不同时期的动态变化情况。

DEA 模型有多种类型，最具代表性有CCR 模型，BCC模型。CCR 模型基于规模报酬不变的假设，而BCC模型则基于规模报酬可变的假设，二者各有侧重，可以选择结合两个方法同时展开数据分析（一般较多采用 BBC 模型）。

2 案例简介

在实际使用中，首先搭建模型确认相应的投入指标、产出指标。

投入变量为：政府财政收入占 GDP 的比例、环保投资占 GDP 的比例、每千人科技人员数/人。

产出变量为：人均 GDP、城市环境质量指数。

试分析投入产出效率，得出如何调整投入变量和产出变量，才能达到最优效率。

3 软件操作

3.1 操作步骤

Step1：新建分析；

Step2：上传数据；

Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【数据包络分析】；

step5：查看对应的数据数据格式，【数据包络分析】要求先放入投入指标（>=1 的定量变量），再放入产出指标(>=1 的定量变量)，最后放入索引项（<=1 的定类变量）。

step6：设置 DEA 类型(规模报酬不变(CCR)or 规模报酬可变(BBC)），例子中选择规模报酬可变模型（BBC）。

step7：点击【开始分析】，完成全部操作。

3.2 结果解读

1）效益分析表

图表说明： CCR 模型只有综合效益，而在 BCC 模型（VRS）会将综合效益分解为技术效益和规模效益。

效益 S 的意义：

● 综合技术效益反映的是决策单元在最优规模时投入要素的生产效率，是对决策单元的资源配置能力、资源使用效率等多方面能力的综合衡量与评价，值等于 1 时，代表该决策单元的投入与产出结构合理，相对效益最优；

● 技术效益反映的是由于管理和技术等因素影响的生产效率，其值等于 1 时，代表投入要素得到了充分利用，在给定投入组合的情况下，实现了产出最大化;

● 规模效益反映的是由于规模因素影响的生产效率，其值等于 1 时，代表规模效率有效（规模报酬不变），也就是规模适宜，已达到最优的状态；

松弛变量的意义：

松驰变量 S-指为达到目标效率可以减少的投入量，增加这些投入量就能达到更高的效率;

松驰变量 S+指为达到目标效率可以增加的产出量，减少这些投入量就能达到更高的效率；

有效性的意义：

有效性分析结合综合效益指标，S-和 S+共 3 个指标，可判断 DEA 有效性：

● 如果综合效益=1 且 S-与 S+均为 0，则‘DEA 强有效’；

● 如果综合效益为 1 但 S-或 S+大于 0，则‘DEA 弱有效’；

● 如果综合效益<1 则为‘非 DEA 有效’。

分析：

由上表可知，其中城市 2，8，9，10 达到了 DEA 强有效（松弛变量均为 0），这说明达到了资源充分利用，是一种帕累托最优的状态。

其余决策单元非 DEA 有效，需要减少投入或者增加产出，怎么改变产出需要具体见后面的投入冗余分析和产出不足分析。 规模效益分析可以见后续的结果——规模报酬分析

2）效益有效性分析

图表说明：上图展示了效益分析图。其中 X 轴代表决策单元，Y 轴代表效益值。

分析：该图是上述有效性的可视化图，主要用于分析各个决策单元的有效性情况，寻找效益最低的决策单元，可见大部分城市是规模效益不足，少部分为技术效益不足。

3）规模报酬分析

图表说明：

● 在不同的生产规模下，规模报酬将会随之改变：

● 规模报酬系数<1 时；生产规模较小，投入产出比会随着规模增加而迅速提升，称为规模报酬递增(IRS)（规模过小可扩大规模增加效益）；

● 规模报酬系数=1 时，生产达到高峰期，产出与投入成正比而达到最适生产规模，称为规模报酬固定；

● 规模报酬系数>1 时；生产规模过于庞大，导致产出减缓，则称为规模报酬递减(DRS)，也就是投入增加时，产出增加的比例会少于投入增加的比例（规模过大可减少规模增加效益）。

分析：由表可知，城市 1，4，5，6，7 需要提升规模以提高效率，城市 3 需要降低规模以提高效率，城市 2，8，9，10 达到了最优效率可以认为暂不需要变动。

4）象限分析

图表说明：投入产出象限图利用 PCA 降维方式把投入、产出指标进行单维化，进而通过象限图的方式呈现决策单元的空间分布，以下为各个象限的意义：

第一象限：高投入，高产出。

第二象限：低投入，高产出。

第三象限：低投入，低产出。

第四象限：高投入，低产出。

5）象限分析输出汇总

图表说明：

上表展示了象限分析的部分/全部的象限分布。

6）投入冗余分析

图表说明：

投入冗余分析（差额变数分析）主要用于分析各变量需要减少多少投入时才能达目标效率。

● 松驰变量 S-（差额变数）指为达到目标效率需要减少的投入量；

● 投入冗余率指‘过多投入’与已投入的比值，该值越大意味着‘过多投入’越多；

分析：从上表可知，在城市 5，6 中政府财政收入占 GDP 的比例的量分别冗余了 0.037 个单位和 0.047 个单位，占该城市这个量的 15.2%和 20.6%，政府需要减少财政收入或者增加其他财政收入的方式。

城市 4、5、7 中环保投资占 GDP 的比例分别冗余了 0.003 个单位、0.003 个单位和 0.007 个单位，占该城市这个量的 5.0%、6.9%和 12.4%，政府需要减少环保投资占 GDP 的比例。

城市 6 中每千人科技人员数冗余了 25.509 个单位，占该城市这个量的 14.4%，说明在城市 6 中每千人中可以减少约 25.509 个单位的科技人员数。

7）产出不足分析

图表说明：

产出不足分析（超额变数分析）主要用于分析各变量需要增加多少产出时达目标效率。

● 松驰变量 S-（超额变数）指为达到目标效率可以增加的产出量；

● 产品不足率指‘产出不足’与已产出的比值，该值越大意味着‘产出不足’越多；

分析：从上表可知，在城市 3，5 中人均 GDP 需要增加 23432.000 个单位和 6794.00 个单位，占该城市人均 GDP 的 21.3%和 6.7%，政府需要想办法增加这些城市的人均 GDP。 各城市的环保指数都达到了最优产出。

注： - 数据包络分析容易收到极值的影响，需要谨慎选择指标。 - 数据包络分析存在负向指标时，需要使用 SPSSPRO 的数据处理功能将指标正向化。 - 数据包络分析（EDA）并不直接对数据进行综合，因此决策单元指标与量纲选取无关，故无需进行无量纲化处理。 - 评估结果是相对效率而非绝对效率，因此效率为 1 只能说明在当前资源下不同方案同等有效，并不代表没有改进之处。 - 数据包络分析不依赖于权重的选择，将所有的投入、产出资源认为同等重要，一定程度上会损失模型的可靠性

4 总结

4.1 DEA有效的经济意义

数据包络分析DEA的本质是利用统计数据确定相对有效的生产前沿面，利用生产前沿面的理论和方法，建立非参数的最优化模型，研究相同类型部门间的效率差异。

根据DEA的原理，DEA有效的DMU在每个投入指标和每个产出指标乘以一个加权系数后，其产出加权和投入加权和之比是最大的，因为所有的其他DMU用样的加权系数算出这一比值都不会超过1。

4.2 DEA效率值的经济意义

技术效率值（TE）TE可分解得到纯技术效率值（PTE）和规模效率值（SE，SE=TE/PTE）。

三者的经济意义分别为：TE是对决策单元综合效率的衡量；PTE是对决策单元配置资源效率的衡量；SE是对决策单元投入资源规模效率的衡量。

4.3 AHP与DEA的结合

AHP法的判断矩阵是有评价者或专家给定的，因此其一致性必然受到有关人员的知识结构、判断水平及个人偏好等诸多主观因素的影响。

DEA各决策单元的输入输出数据指标的权重为变量，使各指标的权重不受主观因素的影响。

结合二者的权重可以得到加权综合权重，两者结合避免了仅仅采用DEA方法会导致的指标选取的人为性和随意性。