前言：

普通线性回归模型关注的是均值，研究的是在某些解释变量在取值固定的条件下响应变量的期望均值，模型估计方法是最小二乘法，使各个样本残差平方和(MSE)最小。且只能够获得“在控制一系列干扰因素后，自变量增加一个单位，因变量（的均值）增加多少”这样的结果。

然而，普通最小二乘法处理异常值是将它们平方，平方会显著增加异常值对平均值等统计数据的巨大影响，如果我们不仅希望研究响应变量的期望均值，而且还想知道其对不同分位数上因变量的影响，这时候就需要分位数回归了。

1 分位数回归概述

1.1 分位数概念

分位数（Quantile），亦称分位点，是指将一个随机变量的概率分布范围分为几个等份的数值点，常用的有中位数（即二分位数）、四分位数（第25、50和75个百分位）、百分位数等。

1.2 分位数回归概念

分位数回归既能研究在不同分位点处自变量X对于因变量Y的影响变化趋势，也能研究在不同分位点处的哪些自变量X是主要影响因素。原理是将数据按因变量进行拆分成多个分位数点，研究不同分位点情况下时的回归影响关系情况。

比如说想要研究学习时间对学业成绩的影响，使用分位数回归我们就可以研究学习时间每增加一个单位，学生的学业成绩会如何变化，这里的学生可以是学习成绩位列前20%的好学生，也可以是位列50%的普通学生，还可以是位列后20%的后进生。瞬间研究的范围就变大了，群体的异质性也体现出来了。

本质上，分位数回归就是一个加权最小二乘法，给不同的y值（大于分位点和小于分位点的y）不同的权重，比如现在我们有一个数据集是1到10各整数，我们希望求0.7分位数，假设这个0.7分位数是q，然后所有大于q的数都被赋上权重0.7，小于q的赋予权重0.3。

2 案例介绍

建立分位数回归来分析产品质量、广告投放对产品销售的影响。

3 软件操作及结果解读

3.1 软件操作

可以添加需要分析的分位数，常用的分位数有四分位数、十分位数。本例设定十分位数。

3.2 结果解读

1）分位数回归结果表

图表说明：上表格展示了分位数回归的参数结果，包括分位数点、变量、样本量、拟合度R²等，可从两方面来进行分析：

● 在不同分位数处自变量对因变量的回归系数呈现的变化趋势。横向来看表格，比如，对于产品质量，它的回归系数随着分位数的增大而不断增大，这说明随着产品质量的不断提高，对产品销售的影响逐渐增大。

● 在不同分位数处各个自变量的显著性。纵向来看表格，对于某个分位点，如0.5分位点，两个自变量的系数都是显著的（p值小于0.05），说明广告投放和产品质量都对销售额有影响。

2）分位数回归系数及其置信区间

图表说明：上图展示了分位数回归的参数结果，可以对每个变量的分位数回归图进行影响幅度分析。对于变量-广告投放，从分位数0.2起，广告投放对产品销售来说有明显的提升，并且从分位数0.2-分位数0.9过程中，广告投放对产品销售的影响较为平稳。由此我们可以得到结论，广告投放资源的0.2分位点处就能得到对销售有利的影响，且在0.4分位点就能达到最高影响销售的力度，没必要花到最大的广告投放资源。

图表说明：上图展示了分位数回归的参数结果，可以对每个变量的分位数回归图进行影响幅度分析。对于变量-产品质量，分位点的回归系数整体上是逐渐增加的，并且在0.9分位点处对销售的影响是最高的，这说明随着产品质量的不断提高，对产品销售的影响逐渐增大。

4 总结

（1）分位数回归能够更加全面的描述被解释变量条件分布的全貌，而不是仅仅分析被解释变量的条件期望（均值），也可以分析解释变量如何影响被解释变量的中位数、分位数等。不同分位数下的回归系数估计量常常不同，即解释变量对不同水平被解释变量的影响不同。

（2）分位数回归的估计方法与最小二乘法相比，估计结果对离群值则表现的更加稳健，而且，分位数回归对误差项并不要求很强的假设条件，因此对于非正态分布而言，分位数回归系数估计量则更加稳健。