传统的计量经济学通常以相应的经济理论为依据，试图利用模型来描述经济变量之间的关系。如联立方程组模型，其优点主要在于对每个方程的残差和解释变量的有关问题给予了充分考虑，但实际中，在分析自变量的滞后变量带来的影响时，用普通的联立方程组处理极为不方便。首先普通联立方程组在变量的选取上要考虑变量是内生变量还是外生变量，有时候还会遗漏某些重要的滞后变量，而VAR模型把所有的变量都作为内生变量来处理，从而减少了由于主观判断错误而增加了联立方程组模型中的不确定性。本文将对VAR模型进行系统介绍。
1 基本概述
1.1 概念
向量自回归模型（vector autoregressive model，简称VAR模型）是非结构性方程组模型，用于估计多个变量之间的动态关系。向量自回归模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而实现了将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。比如说存在一个系统，系统内有多个变量，VAR 模型分别将每一个变量作为因变量 Y，而系统内所有变量的滞后值作为自变量来建立方程。这样的话，系统内具有多少个变量就能够建立多少个方程式，这些式子就能描述多个变量之间的动态关系。
VAR模型常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态影响，主要应用于宏观经济学。是处理多个相关经济指标的分析与预测中最容易操作的模型之一。
由于向量自回归模型把每个内生变量作为系统中所有内生变量滞后值的函数来构造模型，从而避开了结构建模方法中需要对系统每个内生变量关于所有内生变量滞后值的建模问题。
1.2 内生变量与外生变量
1.21 内生变量
- 内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素，是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。
- 内生变量–般都是明确经济意义变量。
- 一般情况下，内生变量与随机项相关
- 在联立方程模型中，内生变量既作为被解释变量，又可以在不同的方程中作为解释变量。
1.22 外生变量
- 外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。
- 外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。
- 外生变量一般是经济变量、政策变量、虚拟变量。
- 一般情况下，外生变量与随机项不相关。
注意：一个变量是内生变量还是外生变量，由经济理论和经济意义决定，不是从数学形式决定。
1.3 基本步骤
1.31 平稳性检验
VAR模型建立之前需要对各时间序列变量进行平稳性检验（ADF检验）。若各时间序列均是平稳序列，则可建立 VAR 模型；否则得到的向量自回归模型是伪回归。若是各数据不满足平稳性，但通过了协整检验，也可建立向量自回归模型。
1.32 确定滞后阶数
如果滞后期太少，误差项的自相关会很严重，并导致参数的非一致性估计。在VAR模型中适当加大k值（增加滞后变量个数），可以消除误差项中存在的自相关；但从另一方面看，k值又不宜过大。k值过大会导致自由度减小，直接影响模型参数估计量的有效性。
有两种方法可以做滞后阶数检验：
- 分析各种准则，最后确定滞后阶数，AIC准则、SC准则、HQ准则、LogL准则、最终预测误差（FPE），选择k值的原则是在增加k值的过程中使相应的值达到最小。
- 分析似然比（LR），这种方法不会出现第一种方法的无效结果。
1.33 构建VAR模型并对参数进行估计
1.34 模型稳定性检验
VAR模型稳定的充分与必要条件是所有特征值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心半径为1的圆称为单位圆），模型可以进一步做脉冲响应分析和方差分解。
1.35 脉冲响应
它描述的是VAR模型中的一个内生变量（冲击变量）的冲击给另一个内生变量（受冲击变量）所带来的影响。
1.36 方差分解
VAR的方差分解能够给出随机新息的相对重要性信息。方差分解是分析预测残差的标准差由不同冲击影响的比例，也是对应内生变量对标准差的贡献比例。
1.4 格兰杰因果检验
在有些情况下，时间序列分析也会出现伪相关问题，也就是可以计算出较大的相关系数的变量实际上并不相关。
针对此问题，格兰杰因果检验由此而生。格兰杰因果检验用于检验时间序列之间是否存在相关关系，它是能否建立脉冲函数的前提。
在VAR模型中，格兰杰检验的因果关系不是通常所说的因果关系（并非真正汉语意义上的“因果关系”），而是说先发生的事情对后发生的事情有一定的影响，或者说某个变量是否可以用来提高对其他相关变量的预测能力。所以，格兰杰因果关系的实质是一种“预测”关系。其实质是考量一个变量的滞后量能否加入到其他变量的公式中。当一个变量确实受到其他变量的滞后量影响时，可以称这两个变量具有格兰杰因果关系。
格兰杰因果检采取以下方式验证是否是真正的相关关系：
（1）估计当前的Y值被Y本身滞后期取值所能解释的程度；
（2）检验加入X的滞后期后，Y的被解释程度是否提高；
（3）如果满足条件（2），则X是Y的格兰杰成因，此时X的滞后期系数具有统计显著性。
由于格兰杰因果关系检验是在向量自回归模型的基础上进行的，因此向量自回归模型本身的合理性对格兰杰因果关系检验的结果也是非常重要的。例如，向量自回归模型本身应当具有恰当的滞后期。
2 案例介绍
基于 VAR 向量自回归模型对某地区的制造业、农业、旅游业三者之间的发展进行互动关系分析。
3 软件操作及结果解读
3.1 软件操作
可根据不同滞后阶数的各信息准则结果，找到一个较优的滞后阶数，再重新建立VAR模型。（这里是已经根据输出结果2确定好了）
3.2 结果解读
3.21 ADF 检验
上表格为ADF检验的结果，包括变量、T检验结果、AIC值等，用于检验时间序列是否平稳，若 p<0.05，则说明序列是平稳序列。
基于变量制造业、农业、旅游业，显著性 P 值为 0.015**，水平上呈现显著性，拒绝原假设，该序列为平稳的时间序列。
3.22 不同滞后阶数的比较
上表格展示了滞后 p 阶的向量自回归模型的信息准则，用于选择较优的滞后阶数。
● 若某一滞后阶数的有最多的*，建议选取该滞后阶数建立 VAR 模型。
● 若有阶数带有的*数量相同，那么就选择尽可能小的阶数。
由评价指标的结果，滞后阶数为 2 的时候有着更多的*号，滞后阶数建议选为 2 阶，即建立 VAR(2)模型。
3.23 模型参数估计表
上表格展示了 VAR 模型的参数估计结果表。
制造业=-0.02制造业(-1)-0.255制造业(-2)-0.062农业(-1)+0.119农业(-2)+1.097旅游业(-1)+0.43旅游业(-2)+0.465
农业=0.091制造业(-1)-0.168制造业(-2)+0.281农业(-1)+0.294农业(-2)+0.096旅游业(-1)+0.057旅游业(-2)+0.259
旅游业=0.125制造业(-1)+0.03制造业(-2)-0.04农业(-1)+0.065农业(-2)+0.522旅游业(-1)+0.025旅游业(-2)+0.334
3.24 VAR 模型稳定性检验
上图展示了 VAR 模型中的 AR 根图。所有的点都位于单位圆内，由此可判断 VAR 系统是稳定的，模型可以进一步做脉冲响应分析和方差分解。
3.25 脉冲响应分析
下图展示了脉冲响应分析图。它描述的是 VAR 模型中的一个内生变量（冲击变量）的冲击给另一个内生变量（受冲击变量）所带来的影响。当 x 在受到随机扰动项的一个单位的正向冲击时，（因为 x 和 y 是有关系的），y 的反映路径。
由脉冲响应图，可以看到两方面的信息：响应趋势和响应时长。
举个例子，假设向量自回归系统中所有内生变量对制造业的一个正向冲击后，制造业的一个反映。
制造业对自身的影响出现在前五期，从第六期开始就已经在逐渐收敛于 0 了。
农业对制造业的由负响应变为正响应，并且在第 10 期还没有明显的收敛，说明农业对制造业产生了稳定持久的影响。
在第二期和第三期中，旅游业对制造业的影响是相对较大的，从第四期开始对制造业的影响逐渐收敛。
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3.26 方差分解结果表
上表展示了方差分解结果表。方差分解是对应内生变量对标准差的贡献比例。也就是变量的波动有多少归因于它自身的冲击因素，还有多少是由系统中其他扰动因素造成的。
表格中呈现的是制造业的方差分解结果，可以看到，在第一期，制造业的波动全受自身影响，且随着期数的增大，会有农业和旅游业对其产生微小影响，但主要还是受自身影响地更多。
注：
- VAR 建模时要填滞后期，但一开始并不能判断哪个滞后是最优的，因此要试，选择不同滞后期，至 AIC 或 BIC 最小时，所对应的滞后为最优滞后，此时做出来的 VAR 模型才是可靠的，SPSSPRO 在输出结果 2 中展现了不同滞后阶数的信息准则值供参考。
- 脉冲响应分析和方差分解都是度量了一个变量对另一个变量的影响。脉冲响应分析，随着时间的推移，观察模型中的各变量对于冲击是如何反映的，展现 x 与 y 之间的动态反应过程； 脉冲响应函数刻画了模型中一个内生变量的冲击给其他内生变量所带来的影响，但是没有给出影响的贡献度和不同结构冲击的重要性，因此，采用方差分解法进一步研究 x 对 y 的重要性。
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