岭回归

1、作用

岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于最小二乘法。

2、输入输出描述

输入:自变量 X 至少一项或以上的定量变量或二分类定类变量，因变量 Y 要求为定量变量（若为定类变量，请使用逻辑回归）。输出:模型检验优度的结果，自变量对因变量的线性关系等等。

3、案例示例

案例:通过自变量（房间面积、楼层高度、房子单价、是否有电梯、周围学校数量、距地铁站位置）拟合预测因变量（房价），现在发现房子单价与楼层高度之间有着很强的共线性，VIF 值高于 20；不能使用常见的最小二乘法 OLS 回归分析，需要使用岭回归模型。

4、案例数据

岭回归案例数据

5、案例操作

Step1：新建分析； Step2：上传数据； Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析； step4：选择【岭回归（Ridge）】； step5：查看对应的数据数据格式，【岭回归（Ridge）】要求自变量 X 至少一项或以上的定量变量或二分类定类变量，因变量 Y 要求为定量变量。 step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

6、输出结果分析

输出结果 1：岭迹图图表说明: 通过岭迹图，确定 K 值。K 值的选择原则是各个自变量的标准化回归系数趋于稳定时的最小 K 值。但通过岭迹图分析方法确定的岭参数 k 在一定程度上存在主观人为性，psspro 采用方差扩大因子法自动确定 K=0.162。

输出结果 2：岭回归分析结果图表说明:岭回归的结果显示：基于字段面积、楼层、单价、周围学校数量(1km)、距地铁站距离(km)、配套电梯回归模型显著性 𝑝 值为 0.000，水平上呈现显著性，拒绝原假设，表明自变量与因变量之间存在着回归关系。同时，模型的拟合优度 𝑅² 为 0.956，模型表现为较为较为优秀，因此模型基本满足要求。模型的公式：总价=-64.72 ＋ 0.987 × 面积-0.043 × 楼层＋ 0.008 × 单价-0.447 × 周围学校数量(1km)-4.198 × 距地铁站距离(km)-3.674 × 配套电梯

输出结果 3：模型路径图图表说明:上图以路径图形式展示了本次模型结果，主要包括模型的系数，用于分析模型的公式。输出结果 4：模型结果图图表说明:上图以可视化的形式展示了本次模型的原始数据图、模型拟合值。

7、注意事项

一般在做岭回归之前，先采用线性回归（最小二乘法回归），如果发现自变量 VIF（共线性）过大，如超过 10，才使用岭回归； SPSSPRO 采用方差扩大因子法来自动寻找 K 值；选取 k 值的一般原则是：各回归系数的岭估计基本稳定用最小二乘法估计的符号不合理的回归系数，其岭估计的符号变得合理回归系数没有不合乎经济意义的绝对值残差平方和增加不太多

8、模型理论

岭回归（Ridge Regression）是回归方法的一种，属于统计方法。在机器学习中也称作权重衰减。也有人称之为 Tikhonov 正则化。岭回归主要解决的问题是两种：一是当预测变量的数量超过观测变量的数量的时候（预测变量相当于特征，观测变量相当于标签），二是数据集之间具有多重共线性，即预测变量之间具有相关性。一般的，回归分析的（矩阵）形式如下：一般情况下，使用最小二乘法求解上述回归问题的目标是最小化如下的式子：岭回归就是要在上述最小化目标中加上一个惩罚项：这里的λ也是待求参数。也就是说，岭回归是带二范数惩罚的最小二乘回归。

9、参考文献

[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com. [2] 刘超,回归分析——方法、数据与 R 的应用,高等教育出版社,2019