单样本Wilcoxon符号秩检验

1、作用

单样本 Wilcoxon 符号秩检验用于比较样本数据中位数与一个特定数值之间的差异情况，与单样本 T 检验不同的是，它不需要数据呈现正态性分布。 ​

2、输入输出描述

输入：设定的检验值，如上示例的 100，以及还有一个定量变量数据，如上示例的 50 瓶食品的重量。 输出：该定量变量数据是否与该特定数值分布呈现一致性。 ​

3、案例示例

示例：如研究一家食品生产企业的罐装食品标准重量是不是 100g（数据非正态分布）。 ​

4、案例数据

单样本Wilcoxon符号秩检验

5、案例操作

Step1：新建分析； Step2：上传数据； Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【单样本 Wilcoxon 符号秩检验】； step5：查看对应的数据数据格式，【单样本 Wilcoxon 符号秩检验】分组项要求输入数据为定量变量，且至少有一项； step6：手动设定检验值为 100； step7：点击【开始分析】，完成全部操作； ​

6、输出结果分析

输出结果 1：正态性检验结果

图表说明： 首先对数据进行正态性检验，因重量样本数量 N≥50，故采用 K-S 检验，显著性 P 值为 0.013，水平上呈现显著性，拒绝原假设，因此数据不满足正态分布，可以结合正态分布直方图、PP 图或者 QQ 图进行进一步分析。 其峰度（-1.281）绝对值小于 10 并且偏度（0.011）绝对值小于 3。

输出结果 2：正态性检验直方图

图表说明：上图展现显示，重量呈现中间低两边高的形状，可认为重量不是正态分布，故不采用单样本 t 检验，采用单样本 Wilcoxon 符号秩检验。 ​

输出结果 3：单样本 Wilcoxon 符号秩检验

图表说明：单样本 Wilcoxon 符号秩检验的结果显示，基于重量和输入的检验值 100： 中位数 99 与 100 差异很小。 显著性 P 值为 0.017，水平上呈现显著性，拒绝原假设，因此重量和检验值 100 存在差异性。 故可认为这家食品生产企业的罐装食品标准重量不是 100g。

7、注意事项

当需要比较样本数据中位数与一个特定数值之间的差异情况时，如果发现数据呈非正态分布并无法转换为正态分布时，选择单样本 Wilcoxon 符号秩检验，为正态分布时可以采用单样本 t 检验。 各差异性分析模型的使用场景如下总结：

8、模型理论

Wilcoxon 符号秩检验，它把观测值和零假设的中心位置之差的绝对值的秩分别按照不同的符号相加作为其检验统计量。它适用于 T 检验中的成对比较，但并不要求成对数据之差 di 服从正态分布，只要求对称分布即可。检验成对观测数据之差是否来自均值为 0 的总体（产生数据的总体是否具有相同的均值）。具体步骤如下： (1)对 i=1,...,n，计算 ∣Xi-M0∣，它们代表这些样本点到 M0 的距离。 (2)把上面的 n 个绝对值排序，并找出它们的 n 个秩，如果它们有相同的样本点，每个点取平均秩（如 1,4,4,5 的秩为 1,2.5,2.5,4）。 (3)令 W+等于 Xi-M0>0 的 ∣Xi-M0∣ 的秩的和，而 W-等于 Xi-M0<0 的 ∣Xi-M0∣ 的秩的和。 (4)对双边检验 H0：M=M0<=>H1：M≠M0，在零假设下，W+和 W-应差不多。因而，当其中之一很小时，应怀疑零假设。在此，取检验统计量 W=min(W+,W-) (5)根据得到的 W 值，利用统计软件或查 Wilcoxon 符号秩检验的分布表以得到在零假设下的 p 值。如果 n 很大要用正态近似：得到一个与 W 有关的正态随机变量 Z 的值，再用软件或查正态分布表得到 p 值。 (6)如果 p 值较小（比如小于或等于给定的显著性水平，譬如 0.05）则可以拒绝零假设。如果 p 值较大则没有充分的证据来拒绝零假设，但不意味着接受零假设。 ​

9、参考文献

[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com. [2] Fisher Box, Joan. Guinness, Gosset, Fisher, and Small Samples. Statistical Science. 1987, 2 (1): 45–52. [3] 王呼生，常沛．《新编医学计算机信息应用》．北京：中国铁道出版社，2016.07 [4] 吴喜之 赵博娟．非参数统计：中国统计出版社，2011 年