灰色预测模型GM(1,1)

1、作用

灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

2、输入输出描述

输入：１个时间序列数据定量变量 输出：灰色预测的拟合预测结果​

3、案例示例

案例：基于某杂志 2006-2021 年某产品的年销售量，使用灰色预测模型对未来三年销售量进行预测。

4、案例数据

灰色预测模型案例数据

5、案例操作

Step1：新建分析； Step2：上传数据； Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【灰色预测模型】； step5：查看对应的数据数据格式，【灰色预测模型】要求输入１个时间序列数据定量变量。 step6：选择向后预测的期数。 step7：点击【开始分析】，完成全部操作。

6、输出结果分析

输出结果 1：级比检验结果表​

图表说明：上表格展示了序列值和级比值。若所有的级比值都位于区间（e^(-2/(n+1)), e^(2/n+1)）内，说明数据适合模型构建。若不通过级比检验，则对序列进行“平移转换”，从而使得平移转换后序列满足级比检验。 由上表可知，原序列至少有一个级比值不位于区间（0.889, 1.125）内，此时应对原序列进行平移转换，spsspro 自动搜索到 c=9，令原序列都加上 9 构成平移转换后的序列，平移转换后的序列的级比值都位于位于区间（0.889, 1.125），因此平移转换后的序列适合构建灰色预测模型。​

输出结果 2：灰色模型构建 ​

图表说明 ​：上表格展示了发展系数、灰色作用量、后验差比值。由发展系数和灰色作用量可以构建灰色预测模型。 ● 发展系数表示数列的发展规律和趋势，灰色作用量反映数列的变化关系； ● 后验差比值可以验证灰色预测的精度，后验差比值越小，则说明灰色预测精度越高； ● 一般后验差比值 C 值小于 0.35 则模型精度高，C 值小于 0.5 说明模型精度合格，C 值小于 0.65 说明模型精度基本合格，如果 C 值大于 0.65，则说明模型精度不合格。 从上表分析可以得到，后验差比值为 0.063，说明建立的灰色预测模型精度高。​

输出结果 3：二阶差分图

图表说明：上表展示了灰色预测模型的拟合结果表。相对误差值越小越好，一般情况下小于 20%即说明拟合良好。总的来说，模型平均相对误差为 5.155，意味着模型拟合效果良好。​

输出结果 4：模型拟合预测图 图表说明：上图展示了灰色预测模型的拟合预测图。​

输出结果 5：模型预测结果表 ​

图表说明：上表展示了灰色预测模型的预测结果表。​

​

7、注意事项

灰色预测模型适用于少量数据时使用(比如 20 个以内)，大量数据时不适合。 GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测。

8、模型理论

GM(1,1)预测模型的简要原理是指:首先利 用累加的技术使数据具备指数规律,然后建立一 阶微分方程并对其求解,将所求结果再累减还原, 即为灰色预测值,从而对未来进行预测 。

步骤 1：在建立灰色预测模型之前必须要保障 建模方法的可行性,即需要对已知的原始数据进行级比检验 。 设初始非负数据序列为

只有当所有的 σ(k) 全部落入计算范围内才可以进行模型的建立。 级比的计算和判断公式分别为:

通过累加运算后得到的x(0)一阶累加序列可以弱化x(0)的扰动：

z(1)是x(1)的紧邻均值生成的序列

故可以求得 GM(1,1)模型对应微分方程为:

其中z(1)为GM(1,1) 模型的背景值 。​

步骤 2： 构建数据矩阵 B 及数据向量 Y ，分别为

则灰色微分方程的最小二乘估计参数列满足

其中， a 主要控制系统发展态势,被称为发展系数; b 的大小反映数据变化的关系,被称为灰色作用量。​

步骤 3： 建立模型并求解生成值与还原值。 依据公式求解, 可得到预测模型

经过累减,得到还原预测值。 ​

9、参考文献

[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com. [2] 邓聚龙. 灰色预测与灰决策[M]. 武汉:华中科技大 学出版社,2002.